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Andrei Kolmogorov naci\u00f3 en 1903 en Tambov,<\/strong> a unos 500 kil\u00f3metros de Mosc\u00fa, lugar donde muri\u00f3 en octubre de 1987. En el \u00ednterin se convirti\u00f3 en uno de los grandes matem\u00e1ticos del siglo XX. Adem\u00e1s de ser considerado el padre de la probabilidad moderna, hizo grandes aportes a la topolog\u00eda, el an\u00e1lisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la teor\u00eda de la informaci\u00f3n, el estudio de la complejidad de los algoritmos y un largo etc\u00e9tera. Fue el director del doctorado de nada menos que 82 prominentes matem\u00e1ticos. Entre ellos, Vladimir Arnold.<\/p>\n Arnold tambi\u00e9n contribuy\u00f3 a muchas \u00e1reas de la matem\u00e1tica.<\/strong> Desde el estudio geom\u00e9trico de los sistemas din\u00e1micos a la mec\u00e1nica cl\u00e1sica y la geometr\u00eda diferencial. Es reconocido no s\u00f3lo por el tama\u00f1o de sus aportes a la disciplina, sino tambi\u00e9n por popularizarla a trav\u00e9s de sus seminarios, conferencias y libros. Y, en especial, por su preocupaci\u00f3n por la educaci\u00f3n matem\u00e1tica y su enfrentamiento con la visi\u00f3n Bourbakiana. A pesar de haber sido nominado para la Medalla Fields de 1974 (el \u201cNobel\u201d de la matem\u00e1tica), su nombre fue retirado por interferencia de la propia Uni\u00f3n Sovi\u00e9tica. Mucho antes de eso, a sus 19 a\u00f1os, resolvi\u00f3 una versi\u00f3n del Problema 13 de la lista de Hilbert.<\/p>\n David Hilbert fue, a su vez, sin dudas, uno de los matem\u00e1ticos m\u00e1s influyentes de su \u00e9poca.<\/strong> En particular a trav\u00e9s de su famosa lista de 23 problemas que propuso en 1900 para guiar la investigaci\u00f3n en matem\u00e1tica a lo largo del siglo por venir.<\/p>\n El Problema 13 trata sobre cuestiones bastante abstractas que, por lo tanto, evitaremos (solo para el registro: se pregunta si es posible escribir a las ra\u00edces de los polinomios de grado siete como funciones algebraicas de dos variables de sus coeficientes). El aporte de Arnold a la soluci\u00f3n es lo que hoy se conoce como \u201cTeorema de representaci\u00f3n de Kolmogorov-Arnold\u201d. Este teorema dice que toda funci\u00f3n (continua) que depende de muchas variables es en realidad la superposici\u00f3n (suma) de funciones que dependen de una sola variable. <\/strong>En otras palabras, usando \u00fanicamente funciones que dependen de una sola variable y la suma, se puede construir cualquier funci\u00f3n continua que depende de muchas variables. Tambi\u00e9n parece bastante abstracto (\u00a1y sorprendente!), pero aguanten un cachito.<\/p>\n Si me encontrara con el genio de la l\u00e1mpara y me concediera tres deseos, le pedir\u00eda solo uno: poder conocer todas las posibles funciones.<\/strong> Para los esc\u00e9pticos, les cuento que, con mucho menos que eso, ChatGPT y sus parientes (otros LLM y otros algoritmos de inteligencia artificial generativa) est\u00e1n cambiando el mundo. Conocer todas las posibles funciones equivale a tener un or\u00e1culo que responde de forma correcta a cualquiera de nuestras preguntas o requerimientos.<\/p>\n La inteligencia artificial (IA), que tanto ruido est\u00e1 haciendo, es, desde el punto de vista matem\u00e1tico, ni m\u00e1s ni menos que conocer medianamente bien un mont\u00f3n de funciones interesantes.<\/mark> Recordemos: una funci\u00f3n asigna a cada elemento de un conjunto A, un elemento del conjunto B. Estamos acostumbrados a las aburridas funciones dadas por f\u00f3rmulas (como la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica ax\u00b2 + bx + c), en donde A y B son conjuntos de n\u00fameros. Pero podemos ser m\u00e1s ambiciosos y considerar, por ejemplo, a A como el conjunto de todas las posibles preguntas que se le pueden hacer a ChatGPT, y a B como el conjunto de todas las posibles respuestas. O que A sea el conjunto de todos los posibles textos describiendo una imagen, un video o una pel\u00edcula completa, y B sea el conjunto de todas las posibles im\u00e1genes, todos los posibles videos, o todas las posibles pel\u00edculas. Para cada posible tarea hay una funci\u00f3n (que en principio desconocemos), que cuando le damos una entrada (una pregunta, un requerimiento), nos dar\u00eda una salida (lo que le pedimos), si la conoci\u00e9ramos. \u00bfSe imaginan conocer bien algunas funciones adecuadas definidas entre estos conjuntos? Conocer funciones que den las respuestas \u201ccorrectas\u201d. Ni Borges se anim\u00f3 a tanto. ChatGPT y otros algoritmos de IA s\u00ed se animaron y \u2013aunque todav\u00eda lejos\u2013 de a poco se van acercando.<\/p>\n Esa misma IA, que a la vez nos trae tantas soluciones y tantos dolores de cabeza, tiene varios problemas en cuanto a su impacto en nuestras vidas, pero tambi\u00e9n tiene problemas t\u00e9cnicos. Uno de ellos es la (falta de) interpretabilidad: no sabemos, desde el punto de vista t\u00e9cnico, c\u00f3mo y por qu\u00e9 es que nos da las respuestas que nos da. <\/mark>Ese es uno de los grandes desaf\u00edos que tiene por delante la comunidad cient\u00edfica: convertir las cajas negras de hoy en futuros algoritmos que den respuestas de forma interpretable. Que adem\u00e1s de decirnos el valor de nuestra funci\u00f3n ante determinadas entradas, nos ayuden a entender qui\u00e9n y c\u00f3mo es nuestra funci\u00f3n. Que en lugar de ofrecernos un or\u00e1culo al que le podemos preguntar lo que queramos y obtener respuestas, nos cuenten c\u00f3mo y por qu\u00e9 es que el or\u00e1culo llega a las conclusiones que llega. Esto es de particular inter\u00e9s en las aplicaciones cient\u00edficas de la IA, en donde el costo de renunciar a entender duele a\u00fan m\u00e1s.<\/p>\n Un paso muy interesante en esa direcci\u00f3n ocurri\u00f3 a mediados de 2024, cuando investigadores del MIT y otras instituciones se entregaron por completo al teorema de representaci\u00f3n de Kolmogorov y Arnold y lo tomaron como piedra fundacional para proponer una alternativa a las redes neuronales que venimos utilizando.<\/p>\n Las redes neuronales artificiales son el coraz\u00f3n de la IA que tenemos hoy.<\/strong> Son estructuras pre-especificadas para intentar aprender aproximadamente estas benditas funciones de las que les vengo hablando. Las KAN (Kolmogorov-Arnold Networks) llegaron para romper el paradigma actual. Si el famoso teorema dice que toda funci\u00f3n de muchas variables es en realidad la superposici\u00f3n de funciones de una sola variable, entonces podemos usar ese hecho para guiarnos en la b\u00fasqueda de esa bendita funci\u00f3n que le pedir\u00edamos al genio de la l\u00e1mpara si pudi\u00e9ramos. En lugar de buscar entre todas las posibles funciones que dependen de muchas variables, podemos buscar entre las funciones que son superposiciones de funciones de una sola variable. Aprender muchas funciones de una sola variable es mucho m\u00e1s f\u00e1cil que aprender una sola funci\u00f3n de muchas variables. Es como partir un gran problema en muchos problemas peque\u00f1os. M\u00e1s importante a\u00fan, entender muchas funciones de una sola variable es m\u00e1s plausible que entender a una sola funci\u00f3n de muchas variables. A las funciones de una sola variable podemos interpretarlas.<\/p>\n El destino final de las KAN es todav\u00eda incierto, pero son como m\u00ednimo una brisa de aire fresco que vale la pena explorar. Es posible que de ac\u00e1 a un tiempo sean s\u00f3lo un m\u00e9todo m\u00e1s en el universo de la IA, pero tambi\u00e9n puede ser que hayan llegado para revolucionar lo que nos est\u00e1 revolucionando.<\/strong> Lo que es seguro es que tendremos que crear\/descubrir mucha matem\u00e1tica nueva para poder entender estos objetos matem\u00e1ticos. Sus propiedades, su potencial, sus limitaciones y sus peligros.<\/p>\n